La naturaleza: ¿una geometría perfecta?

¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? Una publicación de la revista Science ve la luz bajo este mismo título en el año 1967. Su autor, Benoit Mandelbrot, es un ,matemático polaco nacido en 1924 que terminará por abrir una nueva puerta a la geometría al escribir The Fractal Geometry of Nature.

Mandelbrot pensó que quizás las cosas no eran tan perfectas como las muestra la geometría euclidiana: las esferas no son realmente esferas, las líneas rectas no son completamente rectas, las superficies no son uniformes... Entonces, ¿qué pasa con la longitud de la costa de Gran Bretaña? Imaginemos que la estamos observando desde un satélite, lo que veríamos serían líneas más o menos rectas, como en la primera de las imágenes y la longitud se podría determinar fácilmente. Si en vez de hacerlo desde un satélite lo hacemos desde un avión la longitud aumentaría pues, como vemos en la segunda imagen, el número de líneas rectas necesarias para bordearla es mayor. ¿Y si lo hiciéramos a pie? Entonces hasta los pequeños obstáculos e irregularidades del terreno harían que la longitud fuese mayor y, si fuese una bacteria la que lo recorriera ésta seguiría aumentando. A raíz de esto podríamos deducir que la longitud de una línea geográfica depende de la regla con la que la midamos. En definitiva, la longitud de la costa sería mayor cuanto menor sea la unidad de medida utilizada, cuanto más de cerca la miremos.

Vamos a continuar la cadena: la costa recorrida por una molécula, por un átomo, por un quark... Si siguiéramos haciendo zoom la costa iría tomando un aspecto similar al de la imagen:

En ella podemos observar curvas autosemejantes, es decir, curvas que son semejantes a una parte de ellas mismas. Este tipo de objetos se salían completamente de la concepción euclídea de la geometría, y es entonces cuando Mandelbrot busca un nuevo término para poder designarlo: el fractal, un objeto cuya estructura se repite a diferentes escalas.

Otra peculiaridad de estos objetos autosemejantes es que suelen tener dimensiones no enteras. Una buena forma de entenderlo es pensar en una bola hecha con una cuerda: si la observamos desde lejos simplemente veríamos un punto (dimensión matemática 0), al acercarnos podemos identificar un objeto en tres dimensiones y, cuando ya estamos muy próximos, el concepto de bola desaparece. Del mismo modo que una línea recta tiene dimensión 1 y un plano dimensión 2, un fractal puede tener dimensión 1,25.

Es inevitable al hablar de Benoit el nombrar al matemático Gaston Julia cuyos estudios ayudaron notablemente a Mandelbrot. (En la imagen se puede observar uno de los muchos conjuntos de Julia con los que nuestro matemático trabajó en sus estudios).

Ahora bien, ¿qué es el famoso conjunto de Mandelbrot? Es un conjunto de puntos para los que cierta operación matemática da siempre resultados menores que un valor determinado. Si un punto sobresale del valor es que entonces no pertenece al conjunto.

Para entenderlo con claridad es recomendable ver el video:

Los puntos que aparecen en negro son los que pertenecen al conjunto. Los puntos muy cercanos en amarillo- naranja, son aquellos para los que ha sido necesario calcular muchísimos valores para comprobar que verdaderamente no pertenecían. Según se va aumentando la imagen podemos darnos cuenta de esa autosemejanza de la que hablábamos con el problema de la longitud del la costa de Gran Bretaña.

Montañas, nubes, hojas, árboles, copos de nieve... La geometría fractal supone un modelo matemático para las complicadas formas de la naturaleza, así que quizás podría ser considerada, incluso, un modelo de arte y belleza.